Математика решение задач контрольной работы

Задача 4. Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки  равно расстоянию до прямой . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение.  – текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую  (рис. 4). Тогда . Так как , то

 или

 у У’

 2 В

 0 3 х

 Х’

 –4 А

 Рис. 4 

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке . Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду положим , . Тогда в системе координат  уравнение параболы принимает следующий вид: . В системе координат  строим параболу.

Задача 5. Даны координаты трех точек: А(3; 0; –5), В(6; 2; 1), С(12; –12; 3).

Требуется: 1) записать векторы  и  в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами  и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

Решение. 1) Если даны точки  и , то вектор  через орты  выражается следующим образом:

.

Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

.

Аналогично

.

Модуль вектора  вычисляется по формуле

.

Подставляя в формулу найденные ранее координаты векторов  и , находим их модули:

,

.

2) Косинус угла , образованного векторами  и , равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

.

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений одноименных координат, то

.

Тогда

.

3) Уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору , имеет вид

.

По условию задачи искомая плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору . Подставляя    , получим:

 – искомое уравнение плоскости.

Задача 6. Данную систему уравнений записать в матричной форму и решить ее с помощью обратной матрицы:

Решение. Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных ; Н – матрицу-столбец свободных членов:

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

. (1)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель   отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу . Умножив обе части уравнения (1) на , получим:

. (2)

Но  (Е – единичная матрица), а , поэтому

.

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу .

Пусть имеем невырожденную матрицу

. Тогда ,

где  – алгебраическое дополнение элемента  в определителе матрицы А, которое является произведением  на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием -ой строки и -го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель  и алгебраические дополнения  элементов матрицы А.

 – следовательно матрица А имеет обратную матрицу .

Тогда .

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Отсюда

 Задача 7. Вычислить пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента   приводит к неопределенному выражению вида .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель . Такое сокращение возможно, так как множитель  отличен от нуля при :

б) При  выражение  дает неопределенность вида . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на :

в) Обозначим . Тогда  и  при . Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела , имеем:

г) При  выражение  является неопределенностью вида . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при  величины и применим формулу второго замечательного предела:

.

Тогда имеем:

.

Пусть . Тогда   и  при . Переходя к переменной у, получим:

 .

На главную