Сопротивление материалов Инженерная графика История искусства Физика Контрольная по математике Примеры решения задач

Примеры решения типовых задач по математике

Потенциал стационарного электрического тока

Пусть в однородной среде, заполняющей некоторый объем V, проходит электрический ток, плотность которого в каждой точке дается вектором . Предположим, что плотность тока не зависит от времени t. Предположим далее, что в рассматриваемом объеме нет источников тока. Следовательно, поток вектора  через любую замкнутую поверхность S, лежащую внутри объема W, будет равен нулю:

,

где  – единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности. Из формулы Остроградского заключаем, что

 . (14)

На основании обобщенного закона Ома определяется в рассматриваемой проводящей среде электрическая сила E:

, (15)

или ,

где l – проводимость среды, которую мы будем считать постоянной.

Из общих уравнений электромагнитного поля следует, что если процесс стационарный, то векторное поле  безвихревое, т.е. . Тогда аналогично тому, что мы имели при рассмотрении поля скоростей жидкости, векторное поле является потенциальным. Существует функция j такая, что

 . (16)

На основании (15) получаем

 . (17)

Из (14) и (17) следует:

,

или .

Получили уравнение Лапласа.

Решая это уравнение при соответствующих краевых условиях, найдем функцию j, а по формулам (17) и (16) найдем ток  и электрическую силу .

 

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Введем в рассмотрение цилиндрические координаты (r, j, z):

,

откуда

 . (18)

Заменяя переменные x, y и z на r, j, z, придем к функции :

.

Найдем уравнение, которому будет удовлетворять . Имеем: ,

 

 ; (19)

аналогично

 

 , (20)

кроме того,

 . (21)

Выражения для , , , , , , ,  находим из равенств (18). Складывая правые части равенств (19) – (21) и приравнивая сумму к нулю (так как сумма левых частей этих равенств равна нулю в силу уравнения (2)), получаем

 . (22)

Это уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.

Если функция U не зависит от z и зависит от x и y, то функция , зависящая только от r и j,  удовлетворяет уравнению

 , (23)

где r и j – полярные координаты на плоскости.

Найдем теперь решение уравнения Лапласа в области D (кольце), ограниченной окружностями  и , принимающее следующие граничные значения:

 , (24)

 , (25)

где U1 и U2 – постоянные.

Будем решать задачу в полярных координатах. Очевидно, что решение не зависит от j. Уравнение (23) в этом случае примет вид

.

Интегрируя это уравнение, найдем

 . (26)

Определим С1 и С2 из условий (24), (25):

.

Отсюда находим:

.

Подставляя найденные значения С1 и С2 в формулу (26), окончательно получаем

 . (27)

Замечание. Фактически мы решили следующую задачу: найти функцию U, удовлетворяющую уравнению Лапласа в области, ограниченной поверхностями (в цилиндрических координатах): , , , , и следующим граничным условиям:

(задача Дирихле-Неймана). Искомое решение не зависит ни от z, ни от j и дается формулой (26).

Примеры решения задач Найти решение уравнения , , , удовлетворяющее начальным условиям

Решить уравнение  для следующего начального распределения температуры стержня

Уравнения эллиптического типа

Потенциальное течение жидкости или газа. Уравнение неразрывности


На главную