Сопротивление материалов Инженерная графика История искусства Физика Контрольная по математике Примеры решения задач

Примеры решения типовых задач по математике

Примеры решения задач

Найти стационарное распределение температуры на тонкой однородной круглой пластине радиусом R, верхняя половина которой поддерживается при температуре 1°, а нижняя – при температуре 0°.

Решение. Краевая задача имеет вид (23):

,

Найдем сначала решение в виде ряда (32) с коэффициентами (33). Для нашего случая коэффициенты разложения примут вид:

,

 

Окончательно решение задачи получим в виде

.

Решение задачи можно выписать также в виде интеграла Пуассона (34): .

Пусть точка  расположена в верхнем полукруге, т.е. ; тогда  изменяется от -j до pj, и этот интервал длины p не содержит точек ±p. Поэтому введем подстановку , откуда , . Тогда получим

или .

Так как правая часть отрицательна, то U при  удовлетворяет неравенствам . Для этого случая получаем решение

или , .

Если же точка расположена в нижнем полукруге, т.е. , то интервал  изменения  содержит точку –p, но не содержит 0, и мы можем сделать подстановку , откуда , . Тогда для этих значений j имеем

Проводя аналогичные преобразования, найдем

, .

Так как правая часть теперь положительна , то

 .

Задача Дирихле для круга Пусть дан круг радиусом R с центром в начале координат. Будем искать функцию , гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию , где  – заданная функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа

Найти решение уравнения , удовлетворяющее граничному условию

Метод Пикара последовательных приближений Одним из аналитических методов приближенного решения дифференциальных уравнений является метод Пикара.

Пример. Найти приближенное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .


На главную