Гистероскопия где подробно.
Сопротивление материалов Инженерная графика История искусства Физика Контрольная по математике Примеры решения задач

Примеры решения типовых задач по математике

Пример. Найти приближенные значения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию  при . Значения решения определить при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Решение. Найдем сначала y1 и y2 по формулам (9), (10). Из уравнения и начальных данных получаем  .

Дифференцируя данное уравнение, получим .

Следовательно, .

Дифференцируя еще раз , находим .

Подставив в равенство (9) значения y0, ,  и , получим .

Аналогично при  получим

 .

Зная y0, y1, y2, на основании уравнения находим:

 , ,

 ,

 .

Полученные значения заносим в табл. 7.

Таблица 7

х

у

y0=1,0000

y1=1,1103

y2=1,2427

y3=1,3995

y4=1,5833

По формуле (18) находим y3:

.

Далее находим значения , , . Вновь по формуле (18) находим y4:

.

Точное выражение решения данного уравнения .

Следовательно, . Абсолютная погрешность 0,0003; относительная погрешность  .

Задачи для самостоятельного решения

Найти приближенные значения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию . Значения определить при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Найти приближенные значения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию . Значения найти при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5.

Найти приближенное значение  решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию . Сравнить полученный результат с точным решением.

Геометрический смысл метода Эйлера: Интегральная кривая заменяется ломаной, звенья которой имеют постоянную горизонтальную проекцию h. Первое звено касается искомой интегральной кривой в  

Оценка погрешности и точность вычислений Оценить остаточный член метода Рунге-Кутта очень сложно, следует только отметить, что если  непрерывна и ограничена со своими производными до четвертого порядка и эти производные не очень велики, то с уменьшением шага сетки приближенное решение сходится к точному равномерно и остаточный член примерно равен .

Методом Эйлера найти три значения функции y, определяемой уравнением , при начальном условии , полагая  .


На главную