Сопротивление материалов Инженерная графика История искусства Физика Контрольная по математике Примеры решения задач

Примеры решения типовых задач по математике

Пример выполнения контрольной работы 1 (часть 2)

Задание 1. Выполнить действия с матрицами: .

Решение. По правилу умножения матриц:

. Ответ: .

Задание 2. Вычислить определитель матрицы: .

Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в первой строке все элементы стали нулевыми, за исключением элемента, расположенного в первом столбце. Для этого умножим все элементы первого столбца на (-2) и сложим с соответствующими элементами второго столбца:

{Теперь умножим все элементы первого столбца на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьего столбца}{Разложим определитель по элементам первой строки}{Полученный определитель 3-го порядка преобразуем так, чтобы во второй строке все элементы стали нулевыми, за исключением элемента в первом столбце. Для этого умножим все элементы первого столбца на (-3) и сложим с соответствующими элементами второго столбца}{Теперь умножим все элементы первого столбца на 2 и сложим с соответствующими элементами третьего столбца}{Разложим определитель по элементам второй строки}.

Ответ: .

Задание 3. Определить, имеет ли матрица  обратную, и, если имеет вычислить ее: .

Решение. Вычислим определитель матрицы. Преобразуем его так, чтобы в третьей строке все элементы, кроме, расположенного в первом столбце, стали нулевыми. Умножим все элементы первого столбца на (-5) и сложим с соответствующими элементами второго столбца:

{Умножим все элементы первого столбца на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьего столбца}{Разложим определитель по элементам третьей строки}. Итак, , матрица – невырожденная и у нее существует обратная.

Транспонируем исходную матрицу: .

Для каждого элемента транспонированной матрицы найдем алгебраическое дополнение:

; ; ; ; ; ; ; ; .

Подставляем в транспонированную матрицу вместо элементов их алгебраические дополнения и делим каждый элемент на определитель исходной матрицы, получаем матрицу, обратную к исходной:

.

Проверяем выполнение условия: :

. Ответ: .

Задание 4. Вычислить ранг матрицы .

Решение. Матрица имеет четыре столбца и три строки, поэтому . Кроме того, матрица содержит столбец с нулевыми элементами, и все миноры 3-го порядка будут содержать этот нулевой столбец, кроме одного. Вычислим его: {Преобразуем так, чтобы в третьей строке все элементы, кроме находящегося во втором столбце, были нулевыми. Умножим элементы второго столбца на 2 и сложим с элементами первого столбца. Затем умножим элементы второго столбца на (-3) и сложим с элементами третьего столбца. Разложим по элементам третьей строки} .

Все миноры 3-го порядка равны нулю, следовательно, . Достаточно найти хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, например, . Нашли минор 2-го порядка отличный от нуля, так как все миноры более высокого порядка равны нулю, то делаем вывод, что . Ответ: .

Задание 5. Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение. 1) Найдем определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных:

.

2) Найдем определители ,  для каждой  переменной системы заменой -го столбца элементов на столбец свободных членов системы:

;

;

;

.

Находим решение системы:

; ; ; .

3) Проверяем найденное решение:

 

Ответ: .

Задание. Выполнить действия с матрицами:

Найти общее и одно из частных решений системы линейных уравнений: .

Для таблично заданной функции (xi, yi) = f(xi), i =0,...,6, решить следующие задачи (далее будем эту функцию обозначать f(x)).


На главную