Сопротивление материалов Инженерная графика История искусства Физика Контрольная по математике Примеры решения задач

Примеры решения типовых задач по математике

Метод Фурье для решения второй краевой задачи

Общее решение уравнения теплопроводности (3) имеет вид (14). Коэффициенты l, С1, С2, С3 определим из граничных условий (6) и начального условия (4). Производная по x решения (14) имеет вид

 . (23)

Подставим (23) в граничные условия (6):

. (24)

Соотношение (24) выполняется для любого  при . Для второго условия

 . (25)

 Предполагая  (иначе получим тривиальное решение ), из равенства (25) имеем , или , где n = 1, 2, … . Итак, решение второй краевой задачи имеет вид

  при n = 0, 1, 2, … .

 Суммируя все решения при различных n, снова получим решение дифференциального уравнения (3), удовлетворяющее условиям (6):

 , (26)

где . Коэффициенты  ряда (26) определим из начального условия (4):

. (27)

Соотношение (27) можно рассматривать как разложение в ряд Фурье периодической, четной на  функции  с коэффициентами , которые, как известно, определяются по формулам:

 (28)

Итак, решение второй краевой задачи нашли в виде ряда (26) с коэффициентами (28).

Уравнения параболического типа Простейшим представителем уравнения этого типа является уравнение теплопроводности ,

Решение первой краевой задачи методом Фурье

Распространение тепла в неограниченном стержне Пусть в начальный момент задана температура в различных сечениях неограниченного стержня. Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени. К задаче распространения тепла в неограниченном стержне сводятся физические задачи в том случае, когда стержень столь длинный, что температура во внутренних точках стержня в рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на концах стержня.


На главную