Техническая механика. Примеры выполнения заданий

Задача РГР № 3

Для заданной плоской однородной пластины АВСDE определить

I) Положение центра тяжести;

II) Главные центральные моменты инерции.

Дано: В=180 мм; b=140 мм; R=10 мм; Н=160 мм; h=100 мм

Найти: С(хС; уС); JxС; JуС

РЕШЕНИЕ I:

1. Разбиваем сложное сечение пластины на 3 простых сечения:

прямоугольник - АВDK; полукруг - ВС; треугольник - DKE

2. Определяем необходимые данные для простых сечений:

АВDK: 180´160; А1 =180·160=28800 мм 2 =288 см 2; С1 (9; 8)

круг : А2=πR2=3,14·102=314 мм 2=3,14 см 2; С2 (1,5; 14)

ΔDKE: А3 =100·40/2=2000 мм2=20 см 2; С3 (16; 3,3).

3. Определяем положение центра тяжести сложного сечения пластины:

ХС =∑(Аk·хk)\∑Аk ; YC =∑(Аk·уk)\∑Аk;

=8,6 см;

=8,3 см;

ХС=8,6 см; YC=8,3 см.

Решение II:

1. Провести оси координат и центральные оси простых сечений.

2. Определяем центральные моменты инерции для простых сечений:

АВDK: =6144 см4; =7776 см4;

круг : Jx2=Jу2=π(2R)4/64=3,14·24/64=0,785 см4;

ΔDKE: Jx3=КЕ·КD3/36=4·103/36=111,1 см4;

Jу3=КЕ3·КD/48=43·10/48=13,3 см4.

3. Определяем расстояния между главной центральной осью сложного сечения и центральными осями простых сечений:

а1=|уС-у1|=8,3-8=0,3 см; а2=|уС-у2|=|8,3-14|=5,7 см;

а3=|уС-у3|=8,3-3,3=5 см; е1=|хС-х1|=|8,6-9|=0,4 см;

е2=|хС-х2|=8,6-1,5=7,1 см; е3=|хС-х3|=|8,6-16|=7,4 см.

4. Определяем главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси у:

JуС =∑(Jуi+аi2·Аi)=(Jу1+а12·А1)-(Jу2+а22·А1)-(Jу3+а32·А3);

JуС=(7776+0,32·288)-(0,785+5,72·3,14)-(13,3+52·20)=7185,8 см4.

5. Определяем главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси х:

JхС=∑(Jхi+еi2·Аi)=(6144+0,42·288)-(0,785+7,12·3,14)-(111,1+7,42·20);

JхС=4824,7 см4.

Ответ: ХС=8,6 см; YC=8,3 см; JуС=7185,8 см4; JхС=4824,7 см4.



 

Техническая механика. Примеры выполнения заданий