Сопротивление материалов выполнение курсовой Инженерная графика выполнение сборочного чертежа История искусства Курс лекций по физике Примеры решения задач

Типовые задачи курсового расчета по математике

Дифференцирование сложной ФНП

Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.

Прежде чем вычислять производную сложной функции, рекомендуется сначала написать формулу в общем виде, а затем
подставить конкретные функции. Например, , где  – сложная функция,  имеет один независимый аргумент  и два промежуточных аргумента  и , поэтому производная сложной функции по ее независимому аргументу имеет вид  или ; обращаем внимание на
различие знаков   и .

ПРИМЕР. Написать формулы для производных сложных функций:

а) , ; б) , , ;

в) , , , , .

Ответ. а) промежуточная переменная –  (одна!), независимые
переменные –   (три!), поэтому имеем для сложной функции  формулы вычисления частных производных: ; ; ; Задачи приводящие к понятию определенного интеграла Типовой расчет по высшей математике Интегрирование

б) для сложной функции  один независимый аргумент – ; три промежуточных аргумента – . Поэтому
полная производная сложной функции по  вычисляется по формуле ;

в) аналогично имеем

.

В рассмотренных примерах предполагается, что в окончательный результат подставлены значения промежуточных переменных через независимые аргументы.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Вычислить производные сложных функций:

1) , , , ;

2) , , ;

3) , , ;

4) , , .

Ответ. 1) ;

2)

3) ;

4) , ,  ищем

. Далее
следует подставить значения ;  и преобразовать выражение; производная сложной функции  есть функция от .

Для  вычислить  и , где  и , ,  – произвольные постоянные числа.

Формула Тейлора для ФНП записывается в дифференциальной форме по аналогии с формулой Тейлора для функции одной переменной Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции с любой наперед заданной точностью. Погрешность может быть установлена с помощью оценки остаточного члена.

Дифференцирование сложной ФНП Сложная ФНП, как и сложная функция одного переменного, есть суперпозиция двух или нескольких функций. Например, сложная функция , определенная на множестве , понимается как суперпозиция "внешней" функции  и "внутренних" функций , , определенных на множестве . При этом множество значений


На главную