Сопротивление материалов выполнение курсовой Инженерная графика выполнение сборочного чертежа История искусства Курс лекций по физике Примеры решения задач

Типовые задачи курсового расчета по математике

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

Вычисление площади плоской фигуры

б) Площадь плоской фигуры в полярных координатах

На плоскости можно рассмотреть полярную систему координат . Тогда точке  соответствуют координаты  и , предполагаем полуоси  и  () совпадающими; причем  положительное
направление угла   – против вращения часовой стрелки. Случайные величины и законы их распределения Виды случайных величин Определение. Величину называют случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин. Каждой случайной величине соответствует множество чисел — это множество значений, которые она может принимать. Например, число мальчиков среди 100 новорожденных — это случайная величина, которая может принимать значения от 0 до 100. Далее будем обозначать случайные величины прописными буквами, а их возможные значения — строчными буквами; например, случайная величина Х имеет два возможных значения x1 и х2. Другой пример: случайная величина Y принимает возможные значения, принадлежащие интервалу (а, b). Различают два вида случайных величин.

Фигура на плоскости, ограниченная лучами ,  () и кривой , , называется криволинейным сектором. Очевидно, при   имеет круговой сектор и его площадь . Поэтому если провести процедуру построения интегральной суммы  для разбиения , ,  и системы точек , то при , где , , придем к интегралу , который можно
интерпретировать как площадь криволинейного сектора.

Итак, если предел интегральной суммы, построенной по указанной процедуре, существует, то площадь криволинейного сектора можно вычислить по формуле

.

ПРИМЕР 7. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой
Бернулли  и окружностью  (внутри
окружности).

Решение. Лемниската существует при , т.е. для  или для ; периодически повторяется для . Симметрия кривой следует из четности функции . При , изменяющемся от  до , значение  убывает от  до , т.е. значение  убывает от  до  () (см. рисунок). Пересечение лемнискаты и окружности 

  имеем при  и по
симметрии при .

Для вычисления площади используем симметрию фигуры ;  – площадь фигуры в I квадранте. Фигура  – объединение двух криволинейных секторов и поэтому

.

Окончательно имеем .


На главную