Сопротивление материалов выполнение курсовой Инженерная графика выполнение сборочного чертежа История искусства Курс лекций по физике Примеры решения задач

Типовые задачи курсового расчета по математике

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

Вычисление объема тела

Пусть в пространстве задано тело, проекцией которого на ось  является отрезок  и при любом , , известно значение площади "поперечного" сечения тела плоскостью  . Тогда объем этого тела можно получить, переходя от интегральной суммы  к
интегралу . Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Предыдущие главы были посвящены одной из основных задач дифференциального исчисления — нахождению производной заданной функции. Множество вопросов математического анализа и приложений в разнообразных науках приводит к другой задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

Здесь , ,  – разбиение  отрезка  на частичные отрезки  с длинами , ,  – произвольно выбираемые точки на

Представим на рисунке область  и выберем способ счета.
Поскольку переход к явному заданию границы фигуры затруднен,
а кроме того, есть комбинация переменных , то разумно
перейти к полярным координатам  Получим  или  – уравнение лемнискаты (см. в 7.7.1 пример 7). Используя симметрию фигуры, вычисляем площадь .

ПРИМЕР 5. Вычислить площадь фигуры , ограниченной кривыми , , ,  при .

Решение.

.

. .

k4 - 5 k2 = 0, k2 (k2 - 5) = 0, k1,2 = 0, , . Степень многочлена m = 3, число 0 является корнем характеристического уравнения кратности r = 2, поэтому yчн(x) ищем в виде yчн(x) = x2(Ax3 + Bx2 + Dx + E) = Ax5 + Bx4 + Dx3 + Ex2. Тогда

x3

x2

x

1

- 100A = 1;

 60B =0;

120A - 30D = -2;

24B - 10E = 0;

A = - 1/100;

B = 0;

D = 4A/5 + 2/30 = - 4/100 + 2/30 = 8/300 = 2/75;

E = 24B/10 = 0.

 

Если , то частное решение ищется в виде , если число  не является корнем характеристического уравнения, и в виде , если число  - корень характеристического уравнения кратности r. Rm(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами.

Это правило следует из общего, если записать  в виде . В этом случае , поэтому .

Вычислить объем цилиндрического тела, расположенного между плоскостями   и  и ограниченного поверхностью  и плоскостью .

Механические приложения Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной   и . Найти массу этой пластины, если ее плотность распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до одной из вершин пластины.

Вычисление площади криволинейной поверхности ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы , лежащих внутри цилиндра .

Вычислить интеграл , где  – призма, ограниченная координатными плоскостями , ,  и плоскостью .


На главную