Сопротивление материалов выполнение курсовой Инженерная графика выполнение сборочного чертежа История искусства Курс лекций по физике Примеры решения задач

Типовые задачи курсового расчета по математике

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл , где  – призма, ограниченная координатными плоскостями , ,  и плоскостью .

Решение. Спроектируем  на плоскость , получим  и . Определенный интеграл.

Поэтому

.

Замена переменных в тройном интеграла может быть проведена по правилу:

пусть функции , ,  реализуют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение замкнутой области  пространства  на замкнутую область  пространства .
Тогда (см. [1, 6]) справедлива формула

,

где   – якобиан преобразования.

В цилиндрической системе координат  
(,  – полярные координаты), , , ,
и поэтому

.

ПРИМЕР 2. Записать тройной интеграл от функции  на
области , ограниченной поверхностями  и .

Решение. Поверхности – парабалоиды вращения, пересекаются по окружности   Проводить счет удобно в цилиндрической системе координат

.

В сферической системе координат   – длина радиуса вектора точки , ;
  – угол между положительной полуосью   и радиусом–вектором точки , ;  – полярный угол .

Якобиан перехода равен , и поэтому для вычисления тройного интеграла в сферической системе координат нужно задать область интегрирования  в пространстве сферических координат, записать подынтегральную функцию через переменные ,  и , умножить ее на  и провести вычисление повторного интеграла.


На главную